\subsection{一次方程组的应用}\label{subsec:5-6}

对于某些含有两个或两个以上未知数的问题， 有时可以用一次方程组来求解。 下面我们来看几个例子。

\liti 某水利工地派 48 人去挖土和运土。 如果每人每天平均挖土 5 方或运土 3 方，
那么应怎样分配挖土和运土的人数， 正好能够使挖出的土及时运走？

分析： 这个问题里有两个未知数 —— 挖土人数和运土人数。未知数与已知数之间有以下的相等关系：

(1) 挖土人数 $+$ 运土人数 $=$ 派出的总人数；

(2) 每天挖土的总方数 $=$ 每天运土的总方数， 即 $5 \times (\text{挖土人数}) = 3 \times (\text{运土人数})$。

如果分别用 $x$， $y$ 表示挖土人数和运土人数， 那么根据上述相等关系， 就可以列出一个二元一次方程组。

\jie 设应分配 $x$ 人挖土， $y$ 人运土， 根据题意， 得\jiange
\begin{numcases}{}
    x + y = 48 \douhao \tag{1} \\
    5x = 3y    \juhao  \tag{2}
\end{numcases}

由 (2) 得，
\begin{gather*}
    x = \dfrac{3}{5}y \juhao \tag{3}
\end{gather*}

把 (3) 代入 (1)，得
\begin{gather*}
    \dfrac{3}{5}y + y = 48 , \\
    8y = 240,
\end{gather*}

\fengeSuoyi{y = 30 \juhao}

把 $y = 30$ 代入 (3)，得
$$ x = 18\juhao $$

\fengeSuoyi{\begin{cases} x = 18 \douhao \\ y = 30 \juhao \end{cases}}

答： 应分配 18 人挖土， 30 人运土。

\liti 运往某地两批物资， 第一批 360 吨， 用 6 节火车车皮加上 15 辆汽车正好装完；
第二批 440 吨，用 8 节火车车皮加上 10 辆汽车正好装完。 求每节火车车皮和每辆汽车平均各装多少吨。

分析： 这个问题有两个未知数 —— 每节火车车皮和每辆汽车平均所装货物的吨数。
未知数与已知数之间有以下的相等关系：

(1) $6 \times \text{(每节火车车皮平均装货的吨数)} + 15 \times \text{(每辆汽车平均装货的吨数)} = 360$；

(2) $8 \times \text{(每节火车车皮平均装货的吨数)} + 10 \times \text{(每辆汽车平均装货的吨数)} = 440$。

如果分别用 $x$，$y$ 表示每节火车车皮和每辆汽车平均装货的吨数， 那么根据上述相等关系， 就可以列出一个二元一次方程组。

解： 设每节火车车皮平均装货 $x$ 吨， 每辆汽车平均装货 $y$ 吨， 根据题意， 得\jiange
\begin{numcases}{}
    6x + 15y = 360 \douhao \tag{1} \\
    8x + 10y = 440 \juhao  \tag{2}
\end{numcases}

$(2) \times \dfrac{1}{2} - (1) \times \dfrac{1}{3}$，得
$$ 2x = 100 \douhao $$

\fengeSuoyi{x = 50 \juhao}

把 $x = 50$ 代入 (2)，得
\begin{gather*}
    8 \times 50 + 10y = 440 \douhao \\
    10y = 40 \douhao
\end{gather*}

\fengeSuoyi{y = 4 \juhao}

\fengeSuoyi{\begin{cases} x = 50 \douhao \\ y = 4 \juhao \end{cases}}

答： 每节火车车皮平均装货 50 吨， 每辆汽车平均装货 4 吨。


\liti 用库存化肥给麦田追肥， 如果每公顷施 90 千克， 就缺少 3000 千克；
如果每公顷施 75 千克， 就剩余 4500 千克。 有多少公顷麦田？ 库存化肥有多少千克？

分析： 这个问题里有两个未知数 —— 麦田的公顷数和库存化肥的千克数。
如果分别用 $x$，$y$ 表示这两个未知数， 那么未知数与已知数之间的关系如图 \ref{fig:5-2} 所示。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds2-ch5-2}
    \caption{}\label{fig:5-2}
\end{figure}

解： 设有麦田 $x$ 公顷， 库存的化肥有 $y$ 千克， 根据题意， 得\jiange
\begin{numcases}{}
    90x = y + 3000 \douhao \tag{1} \\
    75x = y - 4500 \juhao  \tag{2}
\end{numcases}

$(1) - (2)$，得
\begin{gather*}
    15x = 7500 \douhao \\
    x = 500 \juhao
\end{gather*}

把 $x = 500$ 代入 (1)，得
$$ 90 \times 500 = y + 3000 \juhao $$

\fengeSuoyi{y = 42000 \juhao}

\fengeSuoyi{\begin{cases} x = 500 \douhao \\ y = 42000 \juhao \end{cases}}

答： 有麦田 500 公顷， 库存化肥有 42000 千克。

\lianxi

列出一次方程组解下列应用题：

\begin{xiaotis}

\xiaoti{用大小两台拖拉机耕地， 一小时共耕了 2 公顷地。已知大拖拉机的效率是小拖拉机的 1.5 倍， 求大小拖拉机各耕了多少公顷地。}

\xiaoti{某间有 28 名工人， 生产一种螺栓和螺母， 每人每天平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个。
    应分配多少人生产螺拴，多少人生产螺母，能够使生产出的螺栓和螺母刚好配套（一个螺栓套两个螺母）？
}

\xiaoti{伍分和貳分的硬币共 100 枚，值 3 元 2 角。 这两种硬币各有多少枚？}

\xiaoti{一条船的载重量是 520 吨， 货舱载货容积是 $2000\lfm$。 现在装运甲、乙两种货物，
    甲种货物每吨的体积是 $2 \lfm$， 乙种货物每吨的体积是 $8 \lfm$。
    这两种货物各装多少吨，才能最大限度地利用这条船的载重量及载货容积？
}

\xiaoti{某工厂接受一批农具的定货任务， 按计划天数进行生产，
    如果平均每天生产 20 件， 就比定货任务还少 100 件；
    如果平均每天生产 23 件， 就可超过定货任务 20 件。
    这批农具的定货任务是多少件？ 原计划几天完成？
}

\xiaoti{汽车从甲地到乙地， 如果每小时行驶 45 千米，就要延误 $\dfrac{1}{2}$ 小时到达；
    如果每小时行驶 50 千米， 就可提前 $\dfrac{1}{2}$ 小时到达。
    求从甲地到乙地的路程及原计划行驶的时间。
}

\end{xiaotis}
\lianxijiange

\liti 用浓度为 $5\%$ 和 $53\%$ 的两种烧碱溶液混合配制成浓度为 $25\%$ 的烧碱液 300 千克， 需用这两种烧碱溶液各多少千克？

分析： 这个问题里有两个未知数 —— 浓度为 $5\%$ 的烧碱溶液的千克数和浓度为 $53\%$ 的烧碱溶液的千克数。
如果分别用 $x$，$y$ 来表示这两个未知数， 那么未知数与已知数之间的关系如下表所示：\jiange

\begin{tblr}{hlines,vlines,
    rows = {halign=c, valign=m},
}
    \diagbox[innerwidth=8em, height=4em]{重量}{浓度} & {$5\%$的\\ 烧碱溶液} & {$53\%$的\\ 烧碱溶液} & {混合成$25\%$\\ 的烧碱溶液} \\
    {烧碱溶液的重量\\（千克）}   & $x$            & $y$             & 300 \\
    {所含纯烧碱的重量\\（千克）} & $5\% \cdot x$  & $53\% \cdot y$  & $25\% \cdot 300$ \\
\end{tblr}\jiange

根据下面的相等关系， 可以列出一个二元一次方程组：

混合前烧碱溶液的重量 $=$ 混合后烧碱溶液的重量；

混合前溶液中所含纯烧碱的重量 $=$ 混合后溶液中所含纯烧碱的重量。

\jie 设需用 $5\%$ 的烧碱溶液 $x$ 千克， $53\%$ 的烧溶液 $y$ 千克，根据题意，得\jiange
\begin{numcases}{}
    x + y = 300 \douhao \tag{1} \\
    5\% \cdot x + 53\% \cdot y = 25\% \cdot 300 \juhao  \tag{2}
\end{numcases}

化简 (2)，得
\begin{gather*}
    5x + 53y = 7500 \juhao \tag{3}
\end{gather*}

$(3) - (1) \times 5$，得
$$ 48y = 6000 \douhao $$

\fengeSuoyi{y = 125 \juhao}

把 $y = 125$ 代入 (1)，得
$$ x + 125 = 300 \douhao $$

\fengeSuoyi{x = 175 \juhao}

\fengeSuoyi{\begin{cases} x = 175\douhao \\ y = 125 \juhao \end{cases}}

答： 需用浓度为 $5\%$ 的烧碱溶液 175 千克， $53\%$ 的烧碱溶液 125 千克。


\liti 在代数式 $px + q$ 中， 当 $x= 2$ 时，它的值是 $-1$； 当 $x = 3$ 时， 它的值是 1， 求 $p$， $q$ 的值。

分析：这里的未知数是 $p$， $q$。 把 $x = 2$ 及 $x = 3$ 代入 $px + q$， 分别得值 $-1$， 1 ，
这就得到一个关于 $p$， $q$ 的二元一次方程组。 解这个方程组，就可以求出 $p$， $q$ 的值。

\jie 根据题意，得
\begin{numcases}{}
    2p + q = -1 \douhao \tag{1} \\
    3p + q = 1 \juhao  \tag{2}
\end{numcases}

$(2) - (1)$，得
$$ p = 2 \juhao $$

把 $p = 2$ 代入 (1)，得
$$ 2 \times 2 + q = -1 \douhao $$

\fengeSuoyi{q = -5 \juhao}

答 $p = 2$，$q = -5$。


\lianxi

列出一次方程组解下列应用题：

\begin{xiaotis}

\xiaoti{一种盐酸的浓度是 $30\%$， 另一种盐酸的浓度是 $6\%$， 要配制成浓度是 $10\%$ 的盐 60 千克， 应取这两种盐酸各多少千克？}

\xiaoti{用含氮 $16\%$ 的氨水和含氮 $0.1\%$ 的人粪屎混合配制成含氮 $0.5\%$ 的肥料 6600 千克，需要这种氨水和人粪尿各多少千克（精确到 10 千克）？}

\xiaoti{在代数式 $ax + by$ 中， 当 $x = 5$，$y = 2$ 时， 它的值是 7； 当 $x = 4$，$y = 3$ 时，它的值是 0。 求 $a$，$b$ 的值。}

\xiaoti{在代数式 $x^2 + mx + n$ 中， 当 $x = 3$ 时， 它的值是 5 ； 当 $x = -4$ 时， 它的值是 $-9$， 求 $m$， $n$ 的值。}

\end{xiaotis}

